文：陳宏賓（UniMath主編、全壘目前於國立中興大學應用數學系任教）
前幾天，打王的數在好友沈俊嚴教授的學驚喜貝臉書看到了一件有趣的事情，關於全壘打和數學。比魯追查下去，漢克發現故事實在太有趣了，阿倫不能不趕緊寫下分享給各位讀者。全壘
1974年4月8號（45年前的打王的數今天），美國職棒大聯盟明星球員漢克阿倫（Henry Aaron）擊出個人生涯第715隻全壘打，學驚喜貝打破了將近40年無人能破的比魯紀錄，這項紀錄正是漢克棒球名人堂元老級的超級巨星貝比魯斯（Babe Ruth）所創下的生涯714隻全壘打。
由於貝比魯斯設下的阿倫障礙在美國人心中根本是神級的，在他1935年退休那天，全壘生涯全壘打數排行榜上最接近他的打王的數只有353隻，還不到貝比魯斯的學驚喜貝一半！因此，有人能夠挑戰這個障礙，在當時無疑是個最熱門的話題。只要漢克阿倫一站上打擊區，可以想見那個畫面，全美國4億隻眼睛緊盯，不想錯過這歷史性的一刻。這景況大概就像是那時王建民挑戰大聯盟單季20勝，全台熱血沸騰看實況轉播那樣吧。破紀錄那一刻開始，幾乎全美國都在說這兩個數字「714 vs 715」。
全部的人都瘋狂時，數學家也不會例外。
在舉國狂歡的當時，卡爾．帕梅朗斯（Carl Pomerance）是喬治亞大學的數學教授，專長是數論。他好奇大家嘴巴講不停的這兩個數字是否存在什麼特性？他本能地先將兩個數字做質因數分解，發現一個有趣的性質：
714×715 = 2×3×5×7×11×13×17
剛好是連續7個最小的質數相乘。如果把Pk定為連續k個最小的質數相乘，不禁讓人好奇，Pk剛好等於連續兩個整數相乘的情況是不是不太尋常呢？
後來，他們把問題丟給電腦計算，結果發現，在k < 3050的所有情況下，只有下列5種例子：
P1= 1×2
P2= 2×3
P3= 5×6
P4= 14×15
P7= 714×715
換句話說，如果下一個例子存在的話，那會非常大，這兩個連續數字至少要大於106021。
這個數字有多大，一般人可能沒有辦法想像。打個比方好了，根據EMC數位世界研究報告，預計2020年全球數位資訊總量會達到2013年4.4ZB的10倍，44ZB大約是1021 bits（你現在家裡電腦硬碟單位頂多是TB，1TB了不起是1012bits而已）。也就是說，即使之後每年全球資訊量成長十倍，要達到106021也還需要再6000年。
猜想：Pk剛好等於連續兩個整數相乘的情況中，P7= 714×715就是最後一個例子了。
目前這個猜想仍未能解答，有興趣的讀者可以試試看去證明它。由於上述神奇的案例絕無僅有，幾乎也同時宣告這條研究路線劃下了句點。
圖片來源：Youtube影片截圖 話說回頭，在帕梅朗斯發現趣味的隔一天，他隨口問了一位正要去上課的同事：「欸～你知道714和715有什麼有趣的性質嗎？」
他的同事就在課堂上問了同樣的問題，結果有位名叫傑瑞米．喬丹（Jeremy Jordan）的大學生，發現了不同的意外驚喜。喬丹注意到714和715有相同的質因數和，意即：
2+3+7+17 = 5+11+13
（714 = 2×3×7×17；而715 = 5×11×13）。
後來，把這樣的兩個連續整數稱為「魯斯－阿倫數對」（Ruth-Aaron pair）。
圖片來源：作者提供魯斯－阿倫數對（如果允許質數重複出現）的前面幾項是：
（5, 6）,（8, 9）,（15, 16）,（77, 78）,（125, 126）,（714, 715）,（948, 949）,（1330, 1331）…
意料之外的驚喜
一個大學生意料之外的小觀察，沒想到竟引起了興趣。帕梅朗斯、尼爾森（Carol Nelson）和潘奈（David Penney）3個人後來將這些有趣的觀察，寫成了論文，投稿到一個趣味數學期刊（Journal of Recreational Mathematics）。帕梅朗斯本人表示，當時是以玩笑的心態投稿，單純好玩而已。只是，他從沒想到，這篇論文卻是影響他整個數學生涯的起點。
論文中提出了一項懷疑，他們認為魯斯－阿倫數對應該很稀有。用數學的語言就是：
魯斯－阿倫數對在正整數中的密度為零（density 0）
過沒多久，帕梅朗斯收到了一封讀者寫來的信。這封信出自一位傳奇數學家艾狄胥（Paul Erdős）之手。艾狄胥在信中表示，可以證明魯斯－阿倫數對在正整數中的密度為零這件事，希望去他的學校跟他見面，聊一聊數學。
「我覺得太瘋狂了。當時我只是一個年輕數學菜鳥，寫了篇玩笑性質的文章，然後收到堪稱上個世紀最偉大的數學家之一的艾狄胥教授的信，說要見面討論數學。」
後來，他們就見了面，也很快就寫了論文，發表在數學期刊上。這次會面，對帕梅朗斯的學術生涯造成了極大的影響，他的研究從此受到艾狄胥啟發，一直到1996年艾狄胥過世為止，兩人合作的論文數高達20篇。
帕梅朗斯2017年還拍了一段影片，專門講這段關於棒球、數論和意外驚喜的有趣往事。
先別急著關電腦，故事還沒結束。影片的最後提到，在1995年的時候，位於亞特蘭大的埃默里大學將頒發榮譽學位給艾狄胥，帕梅朗斯受艾狄胥之邀，前往觀禮順便敘舊。到了現場之後，意料之外的是，誰也沒想到，造成他和艾狄胥倆人相識的契機──大聯盟巨星漢克阿倫，也同時獲邀頒發榮譽學位。他簡直不敢相信這個事情。於是把握時機上前攀談，向漢克阿倫說了這段往事。
「漢克阿倫！你是改變了我數學生涯的人。」
阿倫聽了則是以為他遇到了瘋子。
圖片來源：Youtube 影片截圖 帕梅朗斯當然也不忘趁機介紹艾狄胥和漢克阿倫認識，他們坐下來談了一會兒，並留下了合影。有趣的是，帕梅朗斯做出一般球迷會做的要求，他讓漢克阿倫簽名在一顆棒球上，同時，艾狄胥也在上面簽了名字。帕梅朗斯笑著說「漢克阿倫的艾狄胥數也是1，雖然他們沒有合作發表論文，但是他們合作在棒球上簽了名字。」
圖片來源：Youtube 影片截圖 帕梅朗斯一直收藏著這顆意義重大的棒球。只是，由於簽名的筆跡退色了，他倆的簽名字跡都已經消失無法用肉眼瞧見。
圖片來源：Youtube 影片截圖 本文經UniMath授權刊登，原文刊載於此
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核稿編輯：翁世航