文：郭君逸（國立台灣師範大學數學系副教授）
近幾年國內環保意識抬頭，台灣因為塑膠吸管不能回收，飲料演化容易造成大量圾垃，封口所以環保署在去（2019）年7月起禁用一次性塑膠吸管，論為使得不少飲料店紛紛改用成本高出許多的什麼紙吸管，咖啡廳、紙吸餐廳則是管總管改用可重複清洗使用的金屬吸管。由於使用金屬吸管的進去膠吸店家通常都是以內用為主，直接將金屬吸管放入杯中，但塑不用插，台灣所以沒什麼太大的飲料演化問題，但紙吸管就常常讓人覺得非常難用，封口甚至插到吸管爛掉還插不進去！論為到底為什麼紙吸管這麼難插？就讓我們先從這些年飲料封膜與吸管的什麼演變開始說起。
台灣飲料封口演化論
台灣的紙吸街頭常常可以見到人手一杯手搖飲，珍珠奶茶更是紅遍全球；光是在筆者生活的台北市公館一帶，就有三十幾家飲料店，非常恐怖。大約在二十幾年前，很多飲料店的包裝就像麥當勞飲料一樣，是紙杯蓋上個塑膠蓋，然後再插上「圓柱狀」的吸管來喝。
一直到1996年葉益芳先生發明了封口機後，方便的飲料封口機才慢慢走入生活，手搖飲也逐漸換成如今常見的封口杯樣式，即使隨意放置飲料也不會流出來，跟以前用塑膠杯蓋封口的方式相比，可說是方便了許多。而在全面換成封口杯之後，有一樣東西也跟著產生微妙變化，那就是吸管。
吸管的一端必須要是尖的才會好插
隨著飲料封口技術的進展，以前的圓柱狀吸管就非常難插入塑膠封膜中，想喝到飲料還必須將封膜撕開插入吸管才有辦法達成，喝有料的飲料又是另一件更加麻煩的事（只能用小湯匙挖珍珠來吃了），因此吸管也必須進行一番改革！那一根好用、好插的吸管又該怎麼設計？筆者前幾天買了一杯珍奶，結果插到吸管都爛了，還是插不進去，因此就一直在想到底為什麼吸管會這麼難插？想了許久，直到我發現原因，並寫完這篇文章，珍奶就這樣被我擱置在研究室的桌上，應該已經壞了。
高中的時候大家可能都學過二次曲線，雖然課程內容著重在代數上的運算，但大部份老師多少還是會提一下古典幾何中的圓錐截痕（或稱圓錐曲線），例如圖一展示出平面在雙圓錐上產生的各種截痕。而當雙圓錐退化成圓柱的時候，此時的截痕就會變成圖二的樣子，看起來是不是有點像一根吸管被切了一刀？
Photo Credit：科學月刊 
Photo Credit：科學月刊 但先等等，仔細觀察一下手中的吸管，它真的是長這樣嗎？讀者們可以回想一下，如果吸管從側面看過去，長相會是下列哪一個圖？
Photo Credit：科學月刊答案是：D
什麼！怎麼跟圓錐截痕不一樣？這是因為⋯⋯吸管就不是圓錐截痕啊！答案違背我們直覺的原因在於，當吸管用剪刀或裁刀裁切時，塑膠製的吸管必定會先被裁刀壓扁，然後再直直切過去，最後由於塑膠吸管的彈性，才會使吸管彈回來形成我們現在見到的空心柱體。
用數學來看吸管
假設剪裁前的吸管本身是半徑為1圓柱，將這根圓柱直立於xy平面，並利用參數式來描述吸管截痕曲線的話，此參數式為r(t)=〈cost, sint, z(t)〉。其中，t是繞圓的角度，而此時的觀察重點就在於高度z(t) 是多少了。若是圓柱截痕，截平面以45°切下去的話，就會是沿平面z=x來切，也就是z(t)=cost，所以從側面看過去的參數式就是r1(t)=〈cost, sint, cost〉，當我們調整t的範圍，就可以畫出圖三的3D圖。
Photo Credit：科學月刊 但問題在於剪塑膠吸管時，吸管必定會先被剪刀壓扁，而後再沿z=x的平面剪過去，也就是z會隨著x等比例增加，然後吸管再彈回去。此時就好像將這張壓扁的紙貼在圓柱上，換句話說在固定一個高度z時吸管會回復至圓形的狀態，亦即圓參數式中的角度隨著z(t)=t 做變化，所以截面曲線就是r2(t)=〈cost, sint, t〉。畫出的3D吸管如圖四。
Photo Credit：科學月刊 此時從吸管的側面看過去，相當於圖形投影到xz 平面，即為z=cos-1x 的圖形（圖五a）；當然，吸管橫擺也可以說成z=cosx 或z=sinx 週期函數中的一部份（圖五b）。
Photo Credit：科學月刊 
Photo Credit：科學月刊 如果我們將吸管投影到xz平面，即為z=cos-1x的圖形（a）；若將吸管橫擺也可以說成是z=cosx或z=sinx週期函數中的一部份。
你知道大多數吸管是切幾度嗎？
解決了吸管切面的問題後，切吸管的角度也是一項關鍵。讀者不妨猜猜看吸管大多以幾度來切，難道是45°嗎？並不是哦，因為如果是切45°的話，最後會剩太多飲料吸不起來，一般切吸管時會沿斜率是3/5 ～ 1/2 之間來切，也就是在25°～ 40°之間。從圖六可以看出，若吸管切的斜率太陡，就會有比較多的飲料吸不起來。
Photo Credit：科學月刊 那吸管又該怎麼插會最省力呢？我們將吸管直著擺，尖端從側面看時，斜率是無限大，所以插吸管時，應該要垂直插最省力。
紙吸管插不進去的關鍵
很多人將原因歸咎於紙製吸管比較軟，然而真相恐怕並非如此。紙浸了水後的確會變軟，但還沒插進杯裡的紙吸管其實是硬的，甚至比塑膠吸管硬多了！最主要的原因還是在於形狀，紙吸管的切面是橢圓，而不像塑膠吸管一樣有個尖尾。
為什麼紙吸管的切面是橢圓的？相較於塑膠，紙的彈性比較沒那麼大，被裁刀重重一壓就扁了，回復不了圓柱狀，除了造型不好看，壓扁的吸管恐怕也不是很好用。因此，紙吸管的生產過程是在不變形的情況下，將紙吸管鋸斷，或是使用雷射切割，故其截面為橢圓，因為沒有「尖端」，導致紙吸管非常難插。