文：洪萬生、數之數學英家銘
1.8 印度與伊斯蘭的軌跡國和數學交流
印度數學「西進」到西亞與歐洲的仲介是穆斯林，薩珊帝國（Sasanian Empire,Ⅱ中諸多中否224-651）——波斯第二帝國，在「前伊斯蘭」時期就已經扮演著重要角色。印度儘管史料十分有限，存著存交傳播但印度天文學在西元後幾世紀間，行性曾影響波斯中部的流和薩珊天文學著作。印度十進位數碼及其運算更是數之數學如此。在伊斯蘭崛起之後，軌跡國和穆斯林科學家可能從伊朗的Ⅱ中諸多中否西亞或其他地區，甚至直接經由翻譯，印度而學習印度數碼，存著存交傳播被稱為zij或zig的行性天文學著作，顯然就有梵文來源的流和知識。
在本章一開始，數之數學我們針對從阿拉伯文到拉丁文的sine（正弦）之語源，已經說明其始於梵文的演變過程，這就清楚顯示：印度與伊斯蘭之間的數學交流（尤其是從印度傳到阿拉伯世界）之史實。另一方面，印度人所發明的十進位制數碼，也顯然由於伊斯蘭的使用，從而傳入歐洲發揚光大，最後在西元1500年左右，演變成我們今日熟悉的形式。
那麼，究竟如何傳入伊斯蘭世界？有一個傳說涉及下一章（第2.4節）我們還將介紹的阿爾・伯魯尼，他是第十一世紀的伊斯蘭的「印度通」，在伊斯蘭與印度的交流上，扮演了極重要的角色，儘管數學史家普洛夫可認為他的梵文素養並未到位。
這個傳說根據阿爾・伯魯尼的轉述，西元771年時，哈里發曼蘇爾在巴格達的官邸接待了印度大使，得到後者送他的禮物，那是婆羅摩岌多的《婆羅摩修正曆書》。曼蘇爾請求宮廷學者翻譯成阿拉伯文，於是，《婆羅摩修正曆書》中所使用的印度數碼（Hindu numeral），從此傳播到伊斯蘭世界了。
另一方面，阿爾・花拉子密的《印度計算法》對於十進位制算術的發展，當然居功厥偉。不過，它僅存拉丁文版。現存最早的阿拉伯算術著作，則是烏格里狄西（Abu'l Hasan Ahmad ibn Ibrahim Al-Uqlidisi,920-980）的《印度算術》（Kitab al-fusul fi al-hisab al-Hindi），他於西元952年在大馬士革寫下此書，其中，他闡明了印度數碼及其運算系統所以最終獲得成功的一個主要原因：
大多數文書不得不使用它（指印度計數法），因為它容易、快捷、不需多少準備，不要多少時間便能得到答案，也不需在心裡忙於計算，即必須盯住自己的雙手，使得在他講話時不至於破壞他的計算；並且當他離開去做別的事再轉回來時，他將發現它仍是原樣，因而可以繼續算下去而面去了記憶的麻煩，從而又繼續做他的事了。其他的（算術）就不一樣了，需要扳弄手指並做其他必須做的事。大多數的計算者不得不使用它（印度方法）來處理那些不能用手處理的數，因為它們實在太大了。
現在，考慮印度三角學對伊斯蘭世界的影響。在西元第八世紀後期，印度曆算書《悉壇多》（Siddhantas，內容包括希帕克斯天文學）被引進巴格達，且被翻譯成阿拉伯文，於是，伊斯蘭天文學家與數學家對於翻譯傳入的托勒密《天文學大成》，當然「似曾相識」，因為從希帕克斯到托勒密的希臘天文學，本來就一脈相承。
不過，由於伊斯蘭天文學深受古希臘幾何模型進路之影響，因此，他們從印度人身上所學到的，是天文學相關的三角學。事實上，阿拉伯的正弦、餘弦，以及正矢（Versine）都可以溯及梵文的源頭。
另一方面，儘管交流的證據仍然相當零碎，但伊斯蘭初期的數學家及天文學家，還是相當方便取得印度與波斯的數學技巧，進而形塑其數學天文學的基本架構。不過，對於其他主題單元譬如代數學來說，有些數學家或數學史家對比（印度的）婆羅摩岌多vs.（伊斯蘭的）阿爾・花拉子密有關二次方程式解法，發現他們的「概念相似性」（conceptual similarity），而認定前者才是「代數」（al-jajbr/algebra）的發明者，至於後者則是襲自前者。針對這種比較史學進路常見的「失誤」，數學史家普洛夫可提出幾個理由來「糾謬」。
首先，與阿拉伯不同，梵文的二次方程式之係數允許負數，因而，其分類不需要用到六種。其次，梵文的數學文本缺乏阿拉伯的幾何詮釋與演示（geometric demonstration），也就是，兩者有極大差距的（幾何）論證之必要性，這一點阿爾・伯魯尼也特別強調，請詳後文（第2.4節）說明。
再有，誠如史家普洛夫可所指出：「中世紀印度的記號風貌，譬如表格式的原始方程式之格式，以及未知數的名詞之音節縮寫，就未曾被阿拉伯數學的純文辭式（purely rhetorical）的早期形式所採用。」
數學史家普洛夫可有關梵文數學 vs. 阿拉伯數學的風格之比較，也可徵之於同一文本但不同語文版本之對照。有一本十五世紀的一本波斯行星軌道幾何學著作以阿拉伯文撰寫，它在十七世紀被翻譯成為梵文，請參看兩種版本（一開始幾句摘錄）之對照：
波斯文版本：以憐憫的、慈悲的神為名。……一個可感知（sensible）的物件（字面意義是「indication指示」），若它按任何方式都不可分，就被稱之為點。若它在一個方向上可分，它就被稱之為線。若它在兩方向可分，也就是說，它在長與寬上可分，但在高之方向不可分，它就被稱之為面（surface）。
梵文版本：向象神迦尼薩致敬！……一個點是在可感知指示之範疇（category）中。由於它的渺小（smallness），它無論如何都不可分。……那麼，現在一個在某方向上可分，但在另一方向上不可分的物件，就用「線」這個字來表示。……那麼，現在，一個在兩方向上都可分的物件，就用「面」來表示。
可見前者展現了大部分伊斯蘭數學家所採用的歐幾里得風格，至於後者則無疑是梵文數學散文的一種闡述（exposition），其主要目的是以一種清楚與可理解方式來說明這些概念的意義，而非建構這些概念（按歐幾里得的定義呈現方式）的一種嚴密邏輯階層。
在結束本節之前，我們還要提及婆什迦羅二世的數學著作之波斯譯本的故事。蒙兀兒帝國的第三位帝王阿克巴（Akbar,1542-1605）曾在1587年，命令他的宮廷學者阿布・法第（Abu al-Fayd Faydi）翻譯《麗羅娃蒂》。在其譯序文中，法第提供一個首度現身的傳說故事，直到今天還不斷被傳誦：麗羅娃蒂是作者婆什迦羅二世的女兒，根據她出生時的星占，她注定終生未婚且無子嗣。
但是，父親找到一個改運的辦法。他做了一個可漂浮在水面上的杯子，底部開一個很小的洞，水可慢慢流進，一小時後，若杯子沈沒水底，就可擺脫厄運。在一個吉日良辰施行改運時，出自好奇心，麗羅娃蒂觀看杯中水逐漸上昇，突然有一顆珍珠從她身上掉入杯子裡，恰好堵住進水口。