牛頓力學被推翻了嗎？物理學家：新舊理論之間的關係，並不像拆掉舊房子、蓋起新大樓

文：欒丕綱（國立中央大學光電科學與工程學系）

20世紀的牛頓前30年，是力學理論樓物理發展大爆發的年代。相對論與量子力學的被推不像相繼提出，大大改變了物理學的翻嗎面貌，使得人們對於時空、物理因果律、學家新舊係並新隨機性的拆掉看法都發生了根本的改變。

從20世紀前半到現在，舊房固態物理、蓋起高能物理、牛頓半導體物理、力學理論樓光電科技、被推不像奈米科技，翻嗎與能源科技的物理發展，以及正在如火如荼發展中的學家新舊係並新量子資訊科技，或多或少都牽涉到量子力學的應用。而核能科技、宇宙學研究、重力波偵測、科幻電影（例如《星際效應》）中關於黑洞與蟲洞（blackhole and wormhole）的物理特性模擬，以及日常生活中不可或缺的全球定位系統（Global Positioning System, GPS），都可算是相對論的應用。

生活在這樣一個高科技的時代，再加上許多名人對於新物理的偉大成就的廣泛宣傳，一般人或許會逐漸相信新物理已經完全取代了舊物理，因此不需要學習已被淘汰的舊物理，只要學習新的就好。在一些內容牽扯到相對論或量子力學的YouTube影片（它們未必是科普影片）裡，常常有「相對論推翻了牛頓力學」的說法。在一些上世紀的科普書裡，類似的敘述也很常見。然而，這樣的說法究竟對不對呢？

在回答這個問題之前，讓我們首先比較一下新舊理論，對同一個物理現象的數據描述有多大的差異，以及這個差異是否重要。

以牛頓力學跟狹義相對論比較，雖然他們給出的時空觀很不一樣，物理公式的模樣也有許多差異，但它們在物體的運動速度v遠小於光速c時，對同一個物理量會給出幾乎一樣的結果，差別僅在（v/c）² 的等級。假設我們追求的精確度要求這個偏差在百萬分之一（10⁻⁶）以下，那麼在速度 v ⩽ 0.001c ≈ 300km/s 以下時，都沒有必要使用相對論。這個速度上限大約是900馬赫，遠遠超過人類飛行器、流星，與太陽系內星體的運動速度。

因此，除非是對精確度有更高的要求，或是誤差會隨時間不斷累積（例如GPS、水星軌道的近日點進動），或是此差異因乘上某些巨大的係數（例如庫倫常數）而成為另一種可觀測的物理量，否則是不必考慮相對論的。

事實上，磁力作為靜電力的相對論效應就是後一種情況：一個截面積1mm² 的銅製導線中若通過10Amp電流，對應的電荷漂移速度其實只有0.6mm/s，但磁力的存在卻是很顯而易見的。這或許是最令人印象深刻的低速相對論效應了。除了以上所提到的這幾種情況外，在處理其它低速物體運動相關的物理現象時，相對論並不需要被認真考慮。

將牛頓力學跟量子力學相比就更有趣了。根據量子力學，物體的位置與動量各有一個不確定度（uncertainty），它們的乘積大約等於普朗克常數（Planck’s constant）。對於原子中的電子而言，位置的不確定度與其物質波（matter wave）的波長同等級，而這個尺度恰好大約是原子的大小。

所以，若採用波模態（wave modes）的觀點，並配合能量與頻率的正比關係 E=hν=ℏω，就能夠很好地解釋由薛丁格方程式解出的電子軌域（electron orbital）型態。

對於一個像地球這麼大質量的物體，它的位置不確定度有多大呢？根據天文學的資料，地球質量大約是M_地球=5.97×10²⁴kg，而它繞行太陽的速度大約是 v_地球=3×10⁴m/s，所以相對於太陽的動量是 p_地球=1.8×10²⁹kg⋅m/s。代入物質波的波長公式 λ=h/p 就得到 λ_地球=3.7×10⁻⁶³m=3.7×10⁻⁵⁴nm。

前面說過，位置的不確定度跟物質波波長在同一等級，所以因量子力學原因而導致的地球位置的不確定度，就是10⁻⁵⁴nm 的等級，而這是一個人類科技到目前為止根本不可能量到的長度！如果把地球的運動軌跡由一條數學上的理想曲線，換成一根粗細等於位置不確定度的管子，那麼由於這根管子實在太細了，所以它與理想的曲線的區別在實際的觀測中是顯現不出來的。因此，在星體運動的問題上，沒有考慮量子力學描述的必要性。

讀者或許會覺得星體的質量太大了，不必使用量子力學是很顯然的。為了進一步探究牛頓力學的適用範圍，讓我們考慮一個直徑1微米（1μm）的水滴，以每秒1公分（1cm/s）的速度移動。根據此數據可計算出水滴的動量是 p=5.24×10⁻¹⁸m/s，對應的物質波波長為 λ=1.3×10⁻¹⁶m=1.3×10⁻⁷nm，遠小於水滴直徑，因此其位置不確定度也是遠小於此水滴直徑與路徑尺度。

所以，大至星體，小至微米尺度的小顆粒，當我們探討的只是它們的運動問題時，是不需要使用量子力學的。不過，若研究的是這個微米水滴的表面張力，或是它的化學性質，量子力學通常就需要被考慮。

Photo Credit: 物理雙月刊

從以上這些簡單的估算可以看出來，雖然相對論與量子力學是現代物理的兩大基石，是基本物理定律必須符合的框架，但並不是使用了它們就一定可以更好的幫我們解決問題，或了解物理現象的細節。很多時候它們對問題的解決沒有實質幫助，卻要耗費更多的計算資源。